はい、できます。
「動画」パーツではなく「iframe」パーツを使う必要があり、YouTubeのURLにautoplay=1を追加することで自動再生になります。
※iOSでは自動再生ができません。
詳細につきましては、YouTubeのヘルプページを参照ください。（外部ページへ遷移します）
https://developers.google.com/youtube/iframe_api_reference?hl=ja#Mobile_considerations
設定例
1. 貼り付けたいYouTubeのページを開きます
2. 共有ボタンをクリックし、「埋め込む」をクリックします
3. コピーをクリックします
必要に応じてオプションを選択ください
4. テキストエディタに貼り付け、URLにautoplay=1&mute=1を追加します
追加する際はパラメータが既にあるか確認してください。
パラメータなしの場合、？をつけます：「?autoplay=1&mute=1」
例）https://www.youtube.com/embed/Xviwd67TeCo?autoplay=1&mute=1
パラメータありの場合、＆をつけます：「&autoplay=1&mute=1」
例）https://www.youtube.com/embed/Xviwd67TeCo?start=5&autoplay=1&mute=1
自動再生はautoplay=1ですが、音声OFFであるmute=1を付けないとスマートフォンで再生されません
5. iframeパーツに設定します
URLを入力し、「取り込む」ボタンをクリックします。
そのほか、必要に応じて設定をお願いします。
テーマにより期待した表示がされない場合、カスタマーサポートへ連絡いただけますと必要に応じてサポートさせていただきます。
6. 表示確認をして完了です
テーマにより期待した表示がされない場合、カスタマーサポートへ連絡いただけますと必要に応じてサポートさせていただきます。
また、そのほかパラメータをつけることで表示内容が変わります。詳細につきましては、YouTubeのヘルプページを参照ください。
https://developers.google.com/youtube/player_parameters
（※外部ページへ遷移します）
<iframe> タグを使用してプレーヤーを埋め込む アプリケーションに <iframe> タグを定義します。 このタグの中では、プレーヤーに読み込むコンテンツを src URL に指定した上で、必要な他のプレーヤー パラメータも追加します。 <iframe> タグの height パラメータと width パラメータで、プレーヤーのサイズを指定します。 <iframe> の要素を自分で作成する（IFrame Player API を使用しない）場合は、URL の末尾に直接、プレーヤーのパラメータを追加できます。 URL の形式は次のとおりです。 https://www.youtube.com/embed/VIDEO_ID 下の <iframe> タグでは、YouTube 動画 M7lc1UVf-VE を再生する 640x360 ピクセルのプレーヤーが読み込まれます。 URL の autoplay パラメータが 1 に設定されているため、プレーヤーが読み込まれると、動画は自動的に再生されます。<iframe id="ytplayer" src="https://www.youtube.com/embed/M7lc1UVf-VE?autoplay=1&origin=http://example.com" width="640" height="360" frameborder="0"></iframe>